Die Angst des Logikers vor dem Widerspruch

Vom Zwang des Binären

Logik hasst den Widerspruch. Entweder ist eine Aussage wahr oder falsch, ein Drittes gibt es nicht – tertium non datur. Ein viel zitierter Grund für den logischen Bann des Dritten lautet, dass man aus einer logischen Kontradiktion sowohl eine Behauptung wie ihr Gegenteil – also Beliebiges - schliessen könne : ex falso quodlibet (in der Kurzform). Nun leben wir im Zeitalter des Bullshits, dessen Logik sich einen feuchten Kehricht um Widersprüchlichkeit kümmert. Ein Schlag windiger Politiker bevorzugt sie sogar als Argumentationsstil: Was ich sage, ist wahr, und wenn ich im gleichen Satz das Gegenteil sage, ist das auch wahr –  logic sucks. 

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Es geht hier freilich nicht um politische Pathologien, sondern  um ein viel tieferes Problem. In der Logik muss man «müssen». Der arabische Philosoph Avicenna, der dem europäischen Mittelalter die aristotelische Logik übermittelte, war in dieser Hinsicht erbarmungslos: «Jeder, der das Gesetz des Nicht-Widerspruchs (des ausgeschlossenen Dritten, E.K.) leugnet, sollte geschlagen und verbrannt werden, bis er zugibt, dass geschlagen zu werden nicht dasselbe ist wie nicht geschlagen zu werden, und dass verbrannt zu werden nicht das-selbe ist wie nicht verbrannt zu werden».

Ein zwangloser Denkzwang steckt im Schliessen, und man kann sich fragen, was denn da eigentlich zwinge. «Sei logisch!» bedeutet ja im Grunde «Halte dich an die Spielregeln!», und damit meint man die Spielregeln des Denkens. Aber kennt das Denken nur ein einziges Spiel? Und gibt es überhaupt universelle Spielregeln? Einen kategorischen logischen Imperativ?

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Widerspruchslosigkeit bildet das Fundament der Mathematik. Es ist freilich nicht so kompakt, wie man gemeinhin annimmt. Um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert machten sich die besten Köpfe daran, die Mathematik durch die Mengenlehre logisch zu zementieren. Aber es zeigte sich, dass diese Grundlagen selbst vom Widerspruch kontaminiert waren. David Hilbert – Vordenker seiner Zeit - entwarf daraufhin ein ganzes Forschungsprojekt, mit dem Ziel, die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu beweisen. Als Ideal strahlte eine logisch geölte formale «Maschine», die bei jedem Satz, den man ihr eingibt, entscheiden könnte: er ist beweisbar oder widerlegbar. 

Das Projekt – so schön binär es aussah - hatte nicht den geplanten Erfolg. Spielverderber war der Logiker Kurt Gödel mit einem mathematischen Husarenstück. Er konstruierte ein formallogisches System, in das er die elementare Arithmetik übersetzte. Alle arithmetischen Sätze und auch ihre Beweise lassen sich darin ausdrücken. Wäre das System vollständig, könnte man zeigen, dass alle wahren Sätze in ihm beweisbar sind. Aber das System hat einen Webfehler. Es enthält notwendig einen «Fremdkörper», einen arithmetischen Satz, der wahr ist, aber weder beweis- noch widerlegbar. Das gilt nota bene unter der Annahme der Widerspruchsfreiheit des Systems. Und Gödel doppelte mit einem zweiten Resultat nach: Man kann noch so umfassende formallogische Systeme bauen, sie vermögen mit ihren Mitteln nicht die eigene Widerspruchsfreiheit zu beweisen. Entweder ist ein solches System um-fassend, aber nicht widerspruchsfrei; oder es ist widerspruchsfrei, aber nicht umfassend. Es enthält unbeweisbare Sätze. 

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Man kann Logik als Theorie der Gültigkeit von Schlüssen betrachten; als Versuch, Rechenschaft zu geben, welche Konklusionen legitim aus Prämissen folgen. Die Crux ist das Wort «legitim». Wer definiert es verbindlich? Wer ist oberster Schiedsrichter? Wenn Gödel bewies, dass es keine vollständige widerspruchsfreie Theorie der Mathematik gibt, warum dann nicht eine vollständige Theorie, die Widersprüche enthält? Muss man den Widerspruch wirklich so fürchten wie der Teufel das Weihwasser? Ludwig Wittgenstein spricht einmal von der «abergläubischen Angst und Verehrung der Mathematiker vor dem Widerspruch». Er konnte sich nicht mit der Idee anfreunden, dass Arithmetik – Mathematik generell – ein unvollständiges «Sprachspiel» sei. Sie ist vollständig, aber nicht widerspruchsfrei. In einem Gespräch mit Alan Turing äusserte sich Wittgenstein unmissverständlich zur Warnung «ex falso quodlibet»: «Wenn man daraus jede beliebige Folgerung ziehen will, dann ist das die einzige Schwierigkeit (..) Und ich würde sagen: ‚Nun gut, dann ziehe einfach keine Schlüsse aus Kontradiktionen’». 

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Das Widersprüchliche, Absurde ist eine reiche und unerschöpfliche Ideenquelle, auch in der Wissenschaft - der heimliche Motor der Fortschrittsdynamik. Erinnern wir uns nur daran, dass der Abschied von scheinbar selbstverständlichen Prinzipien oder Axiomen uns vordem «unbegreifliche» Wissensterritorien erschloss. Man denke etwa an die Wurzel aus -1, die imaginäre Zahl, mit der man lange Zeit nicht rechnen zu können glaubte; an die nicht-euklidische Geometrie oder an die Nichtstandardanalysis mit ihren hyperreellen Zahlen. Alle Theorien haben den Horizont ins mathematisch «Undenkbare» ausgeweitet.

Es gibt zeitgenössische Logiker, die der Widerspruch nicht abschreckt. Der brasilianische Mathematiker Newton da Costa formulierte bereits in den 1960er Jahren eine sogenannte parakonsistente Logik. Der britisch-australische Logiker Graham Priest arbeitet in dieser Tradition weiter. Er stellt den logischen Widerspruch zudem in einen erweiterten kulturellen Horizont. So ist schon lange bekannt, dass östliche Traditionen das Denken in Paradoxien pflegen, etwa das zenbuddhistische Koan. Priest weist auf eine nicht-binäre Denkfigur im indischen Buddhismus hin, das «Catuskoti» oder die «vier Ecken».  Catuskoti kennt nicht nur die Werte «wahr» und «falsch», sondern auch «wahr und falsch», sowie «weder wahr noch falsch». Beispiele für «weder wahr noch falsch» sind keineswegs ungewohnt. Wir kennen sie als Prognosen: «Trump wird 2024 nicht zur Wahl stehen». Eines der berühmtesten Beispiele für «wahr und falsch» ist schon irritierender, das Lügner-Paradoxon: «Was ich sage, ist falsch». Wenn der Satz wahr ist, dann äussert er etwas Falsches; und umgekehrt. Das Paradox tritt wohlgemerkt nur dann auf, wenn man ausschliesst, dass ein Satz wahr und falsch sein kann. Das Catuskoti tut das nicht. 

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Könnte das binäre Entweder-oder der Spezialfall einer nicht-binären Logik sein – einer Logik, die mit Abstufungen operiert? Das ganze 20. Jahrhundert hindurch haben Denker sich mit alternativen oder mehrwertigen Versionen der klassischen Logik beschäftigt. Nur eine seltsame Obsession von welt¬fremden Köpfen? Im Gegenteil. Gerade Computerwissenschaft und KI-Forschung decken die Weltfremdheit herkömmlichen binären Denkens auf. Computerprogramme beruhen letztlich auf automatischen formalen Systemen, in denen alles algorithmisch geregelt ist. Bei der Übersetzung in formale Sprachen gehen viele relevanten Informationen verloren. Wir nehmen das in Kauf, weil wir von Computern erwarten, dass sie auf logisch konsistente Weise arbeiten: binär. Füttert man einen Computer mit inkonsistenten Datensätzen, dreht er möglicherweise durch, sprich: hält er nicht an. Ein Algorithmus aber, der nicht anhält, ist keiner. 

Bertrand Russell, auch er ein grosser mathematischer Denker, schrieb 1923 einen Essay über Vagheit. Darin steht der bedenkenswerte Satz: «Das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten ist wahr, wenn man präzise Symbole einsetzt, aber es ist nicht wahr, wenn die Symbole so vage wie alle Symbole sind». Dieses Schlüsselmerkmal der natürlichen Sprache verhilft uns, Entscheide auf unscharfer Informationsbasis zu fällen. Genau das erwarten wir ja von KI-Systemen, die man in den Alltag integriert. Sie scheitern oft aufgrund ihrer sturen Binarität. Seit den 1960er Jahren suchen Mathematiker, Logiker und Ingenieure, dieses zentrale Charakteristikum menschlicher Intelligenz – ihre Vagheit oder «fuzzyness» - in einer präzisen Sprache zu formulieren. Und es gelingt ihnen erstaunlich gut. Die «Fuzzy Logic» kann mit Alltags-Folgerungen umgehen wie «Wenn es ein bisschen regnet, wird man ein bisschen nass». Sie ist heute Basis von «unscharfen» Algorithmen, die auf zahlreichen techni-schen Gebieten Anwendung finden: nicht-binäre künstliche Intelligenz. 

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Hüten wir uns vor einem Missverständnis. Es geht nicht um eine «alternative» Mathematik, im Sinne von «alternativen» Fakten. Es geht darum, zu lernen, wie wir Menschen mit Widersprüchlichkeiten umgehen – erfolgreich umgehen. Die Technologie braucht widerspruchstolerante Systeme. Diese logische Geschmeidigkeit würde sie sogleich auch eine Spur «humaner» erscheinen lassen (sofern wir das überhaupt wollen). Im Grunde leben wir nämlich ständig parakonsistent. Unser Alltag ist gespickt mit Halbwahrheiten, Widersprüchen, Aporien, Dilemmata, Paradoxa. Kein Problem, darin zu sagen «Heute regnet es und regnet auch nicht». 

Widersprüche kennzeichnen entscheidende Durchbrüche in der Forschung. Das Gegenteil einer tiefen Wahrheit ist eine andere tiefe Wahrheit, lautete das Motto von Niels Bohr in der Diskussion um die Interpretation der Quantentheorie – ein wahrer Widerspruch! Widersprüche veranlassen uns, eine Denkposition zu überprüfen, sie allenfalls zu verlassen, Widersprüche zwingen zu Begriffsklärungen, sie lösen uns aus sklerotisierten Denkgewohnheiten. Ja, geistige Gesundheit zeichnet sich aus durch ein gewisses Mass an Widerspruchsfreundlichkeit. Geistesgestörtheit dagegen manifestiert sich oft symptomatisch in pathologischer – in «maschineller» - Widerspruchsaversion. 

«Logik bringt uns dem Himmel näher als jede andere Wissenschaft», schrieb Bertrand Russell. Bleiben wir besser auf der Erde.